Forse questa era la prova più difficile. Nel primo giorno della prova di Maturità abbiamo dato in pasto a ChatGPT tutte le tracce della prima prova. Il risultato è stato buono, secondo un professore di italiano del liceo questo software avrebbe superato tranquillamente la prova. Con la seconda prova di Maturità abbiamo provato a chiedere come risolvere tutti gli otto quesiti che facevano parte dell’esame scritto per il liceo scientifico. Non è andata benissimo. Per esempio le risposte sul quesito del Teorema di Rolle sono state confuse e imprecise. Bisognava trovare un modo per spiegare a ChatGPT quali formule utilizzare, come risolvere alcuni problemi e come affrontarne altre. Qualche risposta ChatGPT è riuscita a darla. Anche se non sempre corretta.

Il problema del codice per le formule matematiche

Il primo problema è quello delle formule. Gli utenti digiuni di matematica potrebbero avere problemi a capire come scrivere una radice quadrata su ChatGPT. Il linguaggio che abbiamo utilizzato, e che ChatGPT ha capito, è il LaTeX. È uno dei codici più diffusi per trasformare le formule scritte su un foglio in un linguaggio che sia comprensibile anche dalle macchine.

La soluzione del quesito con il Teorema di Rolle

Abbiamo mostrato la risposta al quesito con il Teorema di Rolle, uno dei più cercati, a un professore di matematica del liceo. La risposta è stata abbastanza veloce: “Mi sembra un po’ confuso. Alla fine del ragionamento non trova nemmeno i valori a e b. Nella prima parte fa una descrizione corretta. E dice anche delle cose corrette. Ma poi non è vero che la funzione è derivabile per ogni valore di a e b. In questo esercizio dovresti trovare i valori di a e b per cui la funzione è continua e derivabile in 0. Una volta trovati i valori di a e b cerchi di capire se puoi applicare Rolle”.

Come è andato ChatGPT alla prova di matematica

In effetti a una prima occhiata le risposte fornite ai quesiti non funzionano molto. Banalmente non riesce a riconoscere i numeri primi e applica i teoremi in modo arbitrario. Nonostante riconosca il linguaggio matematico fatica a seguire i passaggi consequenziali, inciampa in errori semplici e non segue le indicazioni della consegna. Per esempio quando gli abbiamo sottoposto il problema di geometria, dove si chiede di dimostrare che un punto O, centro di un quadrato costruito su un triangolo rettangolo è equidistante da due rette, emerge chiaramente come il chatbot fatichi a immaginare dal punto di vista spaziale la costruzione geometrica, e infatti nel procedimento cade in partenza equiparando due segmenti divisi dalla mediana, peccato che siano quelli sbagliati.

Molto più semplicemente come dicevamo non riconosce i numeri primi. Quando gli abbiamo sottoposto il quesito di probabilità su un dado truccato ha risposto “considerando che i numeri primi sono 1 e 6”, da far rabbrividire un professore di matematica delle medie. In un secondo tentativo, ha invece detto “sono 2 e 5”, già meglio ma comunque sbagliata, visto che i numeri primi compresi tra 1 e 6 sono 2, 3, e 5.  C’è un ultimo punto. Forse gli errori di ChatGPT sono problemi di input, con comandi diversi ChatGPT avrebbe potuto risolvere gli stessi quesiti. In ogni caso vi lasciamo qui tutte risposte ai quesiti di matematica.

Quesito 1

Sia ABC un triangolo rettangolo un A. Sia O il centro del quadrato BCDE costruito sull’ipotenusa, dalla parte opposta al vertice A. Dimostrare che O è equidistante dalle rette AB e AC. 

Per dimostrare che il punto O è equidistante dalle rette AB e AC, possiamo utilizzare il concetto di simmetria. Poiché O è il centro del quadrato BCDE costruito sull'ipotenusa del triangolo rettangolo ABC, possiamo affermare che O giace sulla mediana relativa all'ipotenusa del triangolo. La mediana divide l'ipotenusa in due segmenti di uguale lunghezza.

Dimostriamo che O è equidistante dalle rette AB e AC utilizzando il concetto di simmetria rispetto alla mediana.Consideriamo il punto H, l'intersezione della mediana con la base BC. Poiché la mediana divide l'ipotenusa in due segmenti di uguale lunghezza, possiamo affermare che AH = CH. Ora, consideriamo il segmento OH. Poiché O è il centro del quadrato BCDE, possiamo affermare che OH è una diagonale del quadrato. Di conseguenza, OH è perpendicolare sia a AB che a AC.

Poiché OH è perpendicolare a AB, AH è un'altezza del triangolo rettangolo ABC, e quindi OH è equidistante da AB. Analogamente, poiché OH è perpendicolare a AC, CH è un'altezza del triangolo rettangolo ABC, e quindi OH è equidistante da AC. Pertanto, abbiamo dimostrato che il punto O è equidistante dalle rette AB e AC, utilizzando il concetto di simmetria rispetto alla mediana del triangolo rettangolo ABC.

Quesito 2

Un dado truccato con le facce numerate da 1 a 6, gode della proprietà di avere ciascuna faccia pari che si presenta con probabilità doppia rispetto a ciascuna faccia dispari. Calcolare le probabilità di ottenere, lanciando una volta il dado, rispettivamente: un numero primo, un numero almeno pari a 3, un numero al più pari a 3 

Nel caso del dado truccato descritto, dove ogni faccia pari si presenta con probabilità doppia rispetto a ciascuna faccia dispari, calcoliamo le probabilità richieste. Probabilità di ottenere un numero primo: Ci sono solo due numeri primi su sei possibili (2 e 5). Poiché il dado truccato favorisce le facce pari, assumiamo che la probabilità di ottenere un numero primo sia P(Primo) = P(2) + P(5). Poiché le facce pari hanno probabilità doppia rispetto alle facce dispari, otteniamo: P(Primo) = 2P(1) + 2P(3) + 2P(5) = 2(0) + 2(0) + 2(1/6) = 1/3. Quindi, la probabilità di ottenere un numero primo è 1/3.

Probabilità di ottenere un numero almeno pari a 3. Ci sono quattro numeri che soddisfano questa condizione (3, 4, 5 e 6). Possiamo calcolare la probabilità come segue: P(≥3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = (1/6) + (2/6) + (1/6) + (2/6) = 6/6 = 1. Quindi, la probabilità di ottenere un numero almeno pari a 3 è 1.

Probabilità di ottenere un numero al più pari a 3. Ci sono tre numeri che soddisfano questa condizione (1, 2 e 3). La probabilità sarà quindi: P(≤3) = P(1) + P(2) + P(3) = (1/6) + (2/6) + (1/6) = 4/6 = 2/3. Quindi, la probabilità di ottenere un numero al più pari a 3 è 2/3.

Quesito 3

Considera la retta r passante per i due punti A(1,-2,0) e B(2,3,-1), determinare l’equazione cartesiana della superficie sferica di centri C(1,-6,7) e tangente a r.

Per determinare l'equazione cartesiana della superficie sferica di centri C(1, -6, 7) e tangente alla retta r che passa per i punti A(1, -2, 0) e B(2, 3, -1), dobbiamo seguire questi passaggi. Trova il vettore direttore della retta r. Per fare ciò, calcoliamo AB, che è il vettore differenza tra i punti A e B.

AB = B – A = (2, 3, -1) – (1, -2, 0) = (1, 5, -1)Trova un punto P sulla retta r. Possiamo usare uno dei due punti dati A o B. Prendiamo ad esempio il punto A. Calcola il vettore CP, che collega il centro della sfera C al punto P: CP = P – C = (1, -2, 0) – (1, -6, 7) = (0, 4, -7)

L'equazione della superficie sferica con centro C e raggio r è data da: ||CP||^2 = r^2. Dove ||CP|| rappresenta la norma (o lunghezza) del vettore CP.Sostituendo i valori del vettore CP e risolvendo l'equazione otteniamo: 0^2 + 4^2 + (-7)^2) = r^2

65 = r^2. Quindi l'equazione cartesiana della superficie sferica è: (x – 1)^2 + (y + 6)^2 + (z – 7)^2 = 65

Quindi, l'equazione cartesiana della superficie sferica di centri C(1, -6, 7) e tangente alla retta r passante per i punti A(1, -2, 0) e B(2, 3, -1) è (x – 1)^2 + (y + 6)^2 + (z – 7)^2 = 65.

Quesito 4

Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume V, stabilire se quello di area totale minima ha anche diagonale di lunghezza minima. 

Per determinare se il parallelepipedo di area totale minima ha anche la diagonale di lunghezza minima tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume V, dobbiamo analizzare le proprietà geometriche dei parallelepipedi. Sappiamo che il volume di un parallelepipedo è dato dal prodotto dell'area della base per l'altezza. In questo caso, l'altezza del parallelepipedo può variare, ma l'area della base quadrata rimane costante. Consideriamo due parallelepipedi con la stessa area di base e lo stesso volume V, ma con altezze diverse. Sia parallelepipedo A quello con l'altezza maggiore e parallelepipedo B quello con l'altezza minore. Poiché entrambi i parallelepipedi hanno lo stesso volume V, possiamo scrivere l'equazione: AreaBase_A * Altezza_A = AreaBase_B * Altezza_B

Dato che l'area della base è uguale per entrambi i parallelepipedi, possiamo semplificare l'equazione a: Altezza_A = (AreaBase_B / AreaBase_A) * Altezza_B, notiamo che il rapporto delle altezze è dato dal rapporto delle aree delle basi dei parallelepipedi. Ora, consideriamo la diagonale di ciascun parallelepipedo. La diagonale di un parallelepipedo a base quadrata collega due vertici opposti della base quadrata. La lunghezza della diagonale dipende dalla dimensione della base quadrata e non dall'altezza del parallelepipedo.

Poiché stiamo confrontando parallelepipedi con la stessa area di base, la dimensione della base quadrata è la stessa per entrambi. Quindi, la lunghezza della diagonale rimane costante, indipendentemente dall'altezza. Di conseguenza, il parallelepipedo con l'area totale minima avrà anche la diagonale di lunghezza minima tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume V con la stessa area di base. In conclusione, il parallelepipedo di area totale minima avrà anche la diagonale di lunghezza minima.

Quesito 5

Quesito 6

Quesito 7

Quesito 8