Seconda prova alla Maturità 2025 per lo scientifico: traccia di matematica e soluzione di problemi e quesiti

Studio di funzione, due problemi con citazioni di Cartesio e Platone e all’interno dei quesiti un’opera di Boccioni e un brano di Cicerone che fa doppietta con la versione di latino. È quanto è uscito nella traccia della seconda prova scritta d'indirizzo alla Maturità 2025, in programma oggi, giovedì 19 giugno, al Liceo Scientifico, dove la materia caratterizzante è la matematica. Gli studenti hanno disposizione 6 ore di tempo, a partire dalle 08.30, per risolvere uno dei due problemi e quattro degli otto quesiti proposti dal MIM. Si ricordi che la seconda prova scritta vale 20 punti, così come la prima e il colloquio orale. Il punteggio ottenuto si andrà a sommare ai crediti maturati nel triennio per ottenere il voto finale.

Traccia e quesiti del problema di matematica per la seconda prova allo scientifico

La traccia di Matematica per il Liceo Scientifico è incentrata su due problemi che iniziano entrambi con una citazione. Il primo parte dalla frase di Cartesio: “La ragione non è nulla senza l’immaginazione”. Il secondo parte da una frase attribuita a Platone: “La bellezza è mescolare, in giuste proporzioni, il finito e l’infinito”. Segue il classico studio di funzione.

Per quanto riguarda i quesiti, ci sono altre citazioni umanistiche, tra cui una tratta da un'opera futurista del Boccioni riportata anche sulla moneta dei 20 centesimi.

L'altra è di Cicerone – uscito anche alla versione di latino al classico – e fa riferimento alle predizioni degli indovini (e quindi al calcolo probabilistico), tratta dall'opera "De divinatione".

Infine una chiusura con una citazione del matematico David Hilbert che non richiede alcun tipo di esercizio, una sorta di firma e manifesto programmatico della traccia: "La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione".

I commenti a problemi e quesiti della prova di Matematica

Ecco, di seguito, i commenti dei tutor di Skuola.net a problemi di matematica e quesiti della seconda prova della Maturità 2025 al liceo Scientifico:

Problema 1

Punto a) Il problema fornisce una circonferenza con raggio parametrico e una funzione con parametro. Viene richiesto di verificare la continuità e non derivabilità della funzione nell’origine, abbastanza immediato dal momento che si tratta di una trasformazione elementare della funzione modulo. Viene poi richiesto di determinare i valori dei parametri in modo che il grafico della funzione e della circonferenza identifichino un settore circolare con area e contorno assegnati: si dovrà quindi imporre le condizioni sull’area e sul contorno in funzione del raggio della circonferenza e del parametro di trasformazione della funzione, più ostico della prima parte. Infine si richiede di disegnare nel piano cartesiano la funzione e la circonferenza per valori assegnati (semplice).

Punto b) Studio di funzione con radice pari standard e verifica che il grafico della funzione coincide con la semicirconferenza nel semipiano con ordinata positiva. Viene poi richiesto di dire perché la funzione non è invertibile (no iniettività) e trovare l’intervallo massimo di invertibilità con relativa espressione analitica dell’inversa. (Non serve il punto a)

Punto c) Trovare le coordinate di un punto sul grafico della funzione in modo che il quadrilatero individuato con le proiezioni abbia area massima (esplicitare l’area in funzione di una delle due coordinate sfruttando l’espressione analitica della funzione g  e trovarne il valore massimo). Infine si richiede di verificare che il quadrilatero è un quadrato e che il perimetro è pure massimo. Difficoltà media.

Punto d) Studio di funzione integrale e equazione retta tangente nel punto di flesso (medio-alta).

Problema 2

Il problema numero 2 inizia con il punto a) che verte sull’identificazione dell’equazione di due funzioni dato il grafico e alcune informazioni su di esse. E’ possibile utilizzare le informazioni presenti nel punto b) e c) per poter controllare i risultati del punto a). Conoscere le proprietà del rapporto aureo può essere utile per la risoluzione.

Il punto b) richiede di studiare una delle due funzioni precedentemente trovate con i metodi standard e di trovarne l’immagine, operazione che può risultare ostica. Vengono infine chieste il numero di intersezioni della funzione (che risulta essere un polinomio moltiplicato per una funzione esponenziale) con una retta orizzontale al variare dell’altezza di quest’ultima. Anche in questo caso si potrebbero incontrare delle difficoltà nel risolvere l’equazione associata.  Nel punto c) vengono fatte alcune domande sull’altra funzione e si chiede di dimostrare alcune proprietà geometriche dei segmenti ottenuti collegando zeri, punti di intersezione, massimi e minimi delle curve. Il tutto risolvibile tramite nozioni di calcolo differenziale e di geometria nel piano (retta passante per due punti).  Infine, nel punto d) vengono chieste alcune informazioni sulle aree comprese tra curve e assi; per risolvere questo punto è necessario risolvere degli integrali definiti (anche con estremo variabile).

Il problema si presenta di difficoltà piuttosto alta soprattutto in vista dei numerosi calcoli da svolgere.

Quesito 1

Il quesito chiede di dimostrare la congruenza tra due segmenti costruiti con una certa proporzione. Per la risoluzione sono necessarie nozioni sull’uso delle coordinate, della geometria euclidea e delle simmetrie. Difficoltà medio-alta.

Quesito 2

Questo quesito riguarda lo stabilire la posizione reciproca tra una sfera e un piano π, al variare di un parametro reale. Si risolve controllando se la distanza tra il centro della sfera e il piano è minore del raggio della sfera (secante), uguale al raggio della sfera (tangente), maggiore al raggio della sfera (esterna). Infine, dobbiamo cercare il parametro affinché il piano sia diviso in parti uguali, tramite il calcolo delle aree. Il quesito risulta di difficoltà media.

Quesito 3

Questo quesito riguarda lo studio di una funzione definita a tratti con dominio [-1, 2], di cui si richiede il tracciamento del grafico e l'analisi della continuità e della derivabilità all'interno del dominio di definizione. La funzione a tratti è composta da una prima parte, rappresentata da una parabola, la cui analisi risulta semplice, e da una seconda parte, più complessa, costituita da una funzione trigonometrica, in particolare una tangente. L'analisi della continuità e della derivabilità, alla luce delle definizioni teoriche, risulterà più semplice.

Quesito 4

Il quesito chiede la determinazione dell’equazione della retta normale a una curva in un punto specifico. Per la risoluzione è necessaria la conoscenza del calcolo differenziale e, in particolar modo delle regole di derivazione di funzioni trigonometriche e di un prodotto di funzioni, oltre alle nozioni di geometria  relative alle curve trigonometriche ed alle rette.
In sostanza il quesito presenta un grado di difficoltà medio-basso con una sufficiente conoscenza delle nozione sopracitate.

Quesito 5

Quesito riguardante la condizione di tangenza tra le curve, è fondamentale conoscere le proprietà delle funzioni logaritmiche ed esponenziali, le derivate delle funzioni richieste ed avere competenze algebriche che permettano la risoluzione dei sistemi di equazioni.
Il livello di difficoltà è medio, esercizio non particolarmente complesso, ma bisogna avere delle conoscenze di base per svolgerlo e mantenere una logica consequenziale nello svolgimento.

Quesito 6

Nel quesito viene chiesto di costruire una funzione polinomiale che soddisfi le condizioni di tangenza con una retta data in un punto e che il risultato dell’integrale definito di tale funzione polinomiale restituisca uno specifico risultato. La difficoltà nella risoluzione è media se le nozioni sopracitate sono state acquisite con sufficienza.

Quesito 7

Il quesito numero 7 è un problema standard di calcolo delle probabilità associate al lancio di dadi. Unica differenza (che non complica il quesito) rispetto al solito è la presenza di dadi a 4 facce.
La difficoltà è medio-bassa e si risolve con le nozioni standard di calcolo delle probabilità.

Quesito 8

Quesito relativo al calcolo combinatorio: bisogna calcolare le permutazioni tenendo conto delle ripetizioni.
Livello medio-basso, esercizio non particolarmente complesso, tuttavia è necessario conoscere le formule relative ai calcoli richiesti per poter svolgere il quesito e soprattutto avere competenze logiche nei ragionamenti.

Le soluzioni di problemi e quesiti di Matematica della Maturità 2025

Ecco, di seguito, la soluzione di Matematica completa, elaborata da un team di docenti della piattaforma Skuola.net: