27 Marzo 2023
16:00

Risolto il mistero della tessera “einstein”: l’introvabile forma geometrica esiste davvero

Finalmente scoperta dai matematici, è sorprendentemente semplice e crea uno speciale schema che non si ripete mai.
A cura di Valeria Aiello
Un poligono di 13 lati forma uno speciale schema che copre un piano infinito senza ripetersi mai / Credit: Smith et al. ArXiv 2023
Un poligono di 13 lati forma uno speciale schema che copre un piano infinito senza ripetersi mai / Credit: Smith et al. ArXiv 2023

La matematica, o meglio, i matematici colpiscono ancora. Quattro studiosi, Craig Kaplan dell’Università di Pittsburgh, David Smith dell’Università di Birmingham, Joseph Myers dell’Università di Cambridge e Chaim Goodman-Strauss dell’Università dell’Arkansas, hanno risolto un annoso problema di geometria piana, riguardante un’introvabile forma capace di creare uno speciale schema che non si ripete mai.

In altre parole, l’elemento base di questo motivo, noto come monolite periodico o tessera “einstein” (dal tedesco al tedesco ein Stein, che significa “una pietra”), è una singola forma geometrica in grado di tassellare completamente un piano (proprio come una normale piastrella del pavimento, che può coprire un’intera superficie) senza però mai creare un motivo ripetuto. Questa tessera, ricercata da quasi mezzo secolo, è stata soprannominata “cappello” dai matematici e, prima della sua scoperta, annunciata in un articolo pubblicato online il 20 marzo su ArXiv, non era nemmeno chiaro se potesse esistere davvero.

Scovata l’introvabile tessera “einstein”: crea uno schema che non si ripete mai

La tessera “einstein” è una forma sorprendentemente semplice: si tratta di un poligono di 13 lati – un polykite, un poliformato costituito da quadrilateri più piccoli, ottenuti dalla sovrapposizione di una griglia triangolare ed esagonale – che funge da “einstein” addirittura in due modi: il primo deriva dal fatto che il “cappello” può essere disposto in gruppi più grandi, chiamati “metatiles”, che si organizzano in “supertiles” ancora più grandi, e così via, formando una struttura in grado di riempire un intero piano infinito senza che il suo schema sia mai ripetuto.

In evidenza la tessera
In evidenza la tessera "einstein", soprannominata "cappello" dagli studiosi: è un poligono composto da otto quadrilateri (linee grigio scuro). Credit: Smith et al. ArXiv 2023

La seconda disposizione si basa invece sul concetto del continuum di forme: modificando gradualmente le lunghezze dei lati del “cappello”, si creano gruppi di tessere che assumono uno stesso schema non ripetitivo. Considerando le dimensioni e le forme delle tessere agli estremi di ogni gruppo, i matematici sono riusciti a dimostrare che il “cappello” non può essere disposto secondo uno schema periodico.

I modelli non ripetitivi possono trovare applicazione nei settori più disparati, dalla scienza alla decorazione. E la scoperta di questa tessera aperiodica sembra non fare eccezione, dal momento che la nuova forma ha già ispirato grafici e artisti, che sul web hanno reso lo schema come un insieme di camicie e cappelli.

Gli esperti ritengono che il monolite periodico possa dare il via a nuove indagini nella scienza dei materiali, ricordando come i quasicristalli, scoperti dal Nobel per la Chimica Dan Shecthtman, siano spesso descritti come analoghi delle tessere di Penrose. Proprio queste tessere, così chiamate dal nome del loro scopritore, il matematico Roger Penrose che negli Anni 70 intuì che due sole forme diverse creavano un motivo non ripetuto, hanno portato i matematici a ipotizzare che una singola forma potesse dar luogo a uno schema aperiodico. Finalmente, questa inafferrabile tessera è stata trovata, uscita dal cilindro – forse è il caso di dire dal “cappello” – degli studiosi.

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